Sumários das Aulas Teóricas

• 0. Revisões
  • 1 Séries e funções analíticas. Teorema de Taylor
  • 2 Singularidades isoladas e séries de Laurent
  • 3. Teorema de Cauchy e teorema dos Resíduos
• I. Funções racionais e a esfera de Riemann
  • 4. Polinómios: princípios do módulo e o teorema de Gauss-Lucas
  • 5. Funções racionais e espaços projectivos
  • 6. O grupo Mob das transformações de Möbius
  • 7. Acção de Mob em P^1 e a razão cruzada
• II. Teoria local de funções holomorfas
  • 8. Teorema da função inversa e teorema da aplicação aberta.
  • 9. Multiplicidade e comportamento local
  • 10. Princípio da identidade e dos zeros isolados.
  • 11. Princípio do módulo máximo
• III. Teoria global de funções holomorfas e meromorfas
  • 12. Índice de uma curva fechada em torno de um ponto
  • 13. Teorema de Cauchy global
  • 14. Homologia (analítica) de uma região
  • 15. Primitivas e logaritmos globais. Teorema de Morera
  • 16. Formas diferenciais reais e holomorfas
  • 17. Princípio do argumento
  • 18. Teorema de Rouché
  • 19. O grau de uma curva fechada em torno de um ponto
• IV. Tranformações conformes e automorfismos
  • 20. Lema de Schwarz
  • 21. Automorfismos de regiões simples
  • 22. Topologia em espaços de funções holomorfas
  • 23. Teorema da aplicação de Riemann
• V. Funções harmónicas
  • 24. Propriedade do valor médio; relação com funções holomorfas
  • 25. Princípio do módulo máximo
  • 26. Funções harmónicas com singularidades isoladas
  • 27. Problema de Dirichlet no disco.
• VI. Representação de Funções inteiras
  • 28. Convergência de produtos infinitos de números e funções
  • 29. Factorização de Weierstrass
  • 30. Factorização de Hadamard
• VII. Funções Elípticas
  • 31. Teoremas de Liouville
  • 32. A função p de Weierstrass e as funções theta
• VIII. Continuação analítica
  • 33. Germes de funções e continuação ao longo de curvas
  • 34. O princípio de reflexão de Schwarz; aplicação ao pequeno teorema de Picard